Это удивительное число 37

       Число 37 обладает многими любопытными свойствами. Так, умноженное на 3 и на числа, кратные 3 (до 27 включительно), оно дает произведения, изображаемые одной какой-либо цифрой:
37 × 3 = 111;
37 × 6 = 222;
37 × 9 = 333;
37 × 12 = 444;
37 × 15 = 555;
37 × 18 = 666;
37 × 21 = 777;
37 × 24 = 888;
37 × 27 = 999.
     

      Произведение от умножения 37 на сумму его цифр равняется сумме кубов тех же цифр, т. е.:
37 × (3 + 7) = 3^3 + 7^3 = 370.

      Если в числе 37 взять сумму квадратов его цифр и вычесть из этой суммы произведение тех же цифр, то опять получим 37:
(3^2 + 7^2) – 3×7 = 37.

      Но едва ли не самым интересным свойством числа 37 является то, что некоторые кратные ему числа при круговой перестановке входящих в них цифр дают опять-таки числа, кратные 37. Например:
259 = 7 × 37
592 = 16 × 37
925 = 25 × 37

      То же самое верно относительно чисел 185, 518, 851 и чисел 296, 629, 962. Все эти числа состоят из тех же цифр, только переставляемых в круговом порядке, и все они кратны 37.

      Подобным же свойством отличаются и некоторые числа, кратные 41. Так, числа:
17589; 75891; 58917; 89175 и 91758, как легко проверить, все кратны 41, и каждое получается из предыдущего путем только одной круговой перестановки входящих в число цифр.

Источник — «Пять минут на размышление». Москва 1950. Книга составлена по материалам Л. Успенского, А. Студенцова, Я. Перельмана, Игнатьева и др.